Evenimente aleatoare dependente și independente. Evenimente aleatoare independente Vino cu exemple de variabile aleatoare dependente și independente

Exercita. Numărul de accesări ale perechilor de valori ale variabilelor aleatoare X și Y în intervalele corespunzătoare este dat în tabel. Folosind aceste date, găsiți coeficientul de corelație al eșantionului și ecuațiile eșantionului dreptelor de regresie ale lui Y pe X și X pe Y.
Soluţie

Exemplu. Distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare bidimensionale (X, Y) este dată de un tabel. Aflați legile de distribuție a mărimilor componente X, Y și coeficientul de corelație p(X, Y).
Descărcați soluția

Exercita. O mărime discretă bidimensională (X, Y) este dată de o lege de distribuție. Aflați legile de distribuție a componentelor X și Y, covarianța și coeficientul de corelație.

  Variabile aleatoare dependente și independente

 Când studiați sisteme de variabile aleatoare, ar trebui să acordați întotdeauna atenție gradului și naturii dependenței acestora. Această dependență poate fi mai mult sau mai puțin pronunțată, mai mult sau mai puțin apropiată. În unele cazuri, relația dintre variabile aleatoare poate fi atât de strânsă încât, cunoscând valoarea unei variabile aleatoare, puteți indica cu exactitate valoarea alteia. În celălalt caz extrem, dependența dintre variabilele aleatoare este atât de slabă și îndepărtată încât pot fi considerate practic independente.
 Conceptul de variabile aleatoare independente este unul dintre conceptele importante ale teoriei probabilităților.
 O variabilă aleatoare \(Y\) se spune că este independentă de variabila aleatoare \(X\) dacă legea de distribuție a variabilei \(Y\) nu depinde de ce valoare a luat variabila \(X\).
 Pentru variabile aleatoare continue, condiția de independență a lui \(Y\) față de \(X\) poate fi scrisă ca: $$f(y\mid x)=f_(2)(y)$$ pentru orice \(y) \).
 Dimpotrivă, dacă \(Y\) depinde de \(X\), atunci $$f(y\mid x) \neq f_(2)(y)$$  Să demonstrăm că dependenţa sau independenţa variabilelor aleatoare este întotdeauna reciprocă: dacă valoarea \(Y\) nu depinde de \(X\), atunci valoarea \(X\) nu depinde de \(Y\).
 Într-adevăr, fie \(Y\) independent de \(X\): $$f(y\mid x)=f_(2)(y)$$ avem: $$f_(1)(x)f( y \mid x)=f_(2)(y)f(x\mid y)$$ din care obținem: $$f_(1)(x)=f(x\mid y)$$ care este ceea ce avem necesare pentru a dovedi.
 Deoarece dependența și independența variabilelor aleatoare sunt întotdeauna reciproce, putem da o nouă definiție a variabilelor aleatoare independente.
 Variabilele aleatoare \(X\) și \(Y\) se numesc independente dacă legea de distribuție a fiecăreia dintre ele nu depinde de ce valoare a luat-o cealaltă. În caz contrar, se numesc mărimile \(X\) și \(Y\)..
dependente
 Pentru variabile aleatoare continue independente, teorema înmulțirii pentru legile distribuției ia forma: $$f(x, y)=f_(1)(x)f_(2)(y)$$ adică densitatea de distribuție a unui sistem de independente variabile aleatoare este egală cu produsul distribuțiilor densităților cantităților individuale incluse în sistem.
Adesea, prin însăși forma funcției \(f(x, y)\) putem concluziona că variabilele aleatoare \(X, Y\) sunt independente, și anume, dacă densitatea distribuției \(f(x, y) \) descompune în produs două funcții, dintre care una depinde doar de \(x\), cealaltă doar de \(y\), atunci variabilele aleatoare sunt independente. Densitatea de distribuție a sistemului \((X, Y)\) are forma: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi ^(2)(x^(2)+y^( 2)+x ^(2)y^(2)+1))$$ Stabiliți dacă variabilele aleatoare \(X\) și \(Y\) sunt dependente sau independente.
Soluţie. Factorizarea numitorului, avem: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))\frac(1)(\pi (y^(2)+1) ))$$ Deoarece funcția \(f(x, y)\) se împarte într-un produs a două funcții dintre care una depinde doar de \(x\), iar cealaltă doar de \(y\), concluzionăm că marimile \(X\) si \(Y\) trebuie sa fie independente. Într-adevăr, aplicând formulele, avem: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))\int_(-\infty)^(\infty)(\ frac( dy)(\pi (y^(2)+1)))=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))$$ similar cu $$f(x, y)= (\frac (1)(\pi (y^(2)+1)))$$ de unde suntem convinși că $$f(x, y)=f_(1)(x)f_(2)(y )$$ și, prin urmare, mărimile \(X\) și \(Y\) sunt independente.

Două variabile aleatoare $X$ și $Y$ sunt numite independente dacă legea de distribuție a unei variabile aleatoare nu se modifică în funcție de valorile posibile pe care le ia cealaltă variabilă aleatoare. Adică, pentru orice $x$ și $y$ evenimentele $X=x$ și $Y=y$ sunt independente. Deoarece evenimentele $X=x$ și $Y=y$ sunt independente, atunci prin teorema produsului probabilităților evenimentelor independente $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\) dreapta)\dreapta)=P \stanga(X=x\dreapta)P\stanga(Y=y\dreapta)$.

Exemplul 1 . Lăsați variabila aleatoare $X$ să exprime câștigurile în numerar din biletele unei loterie " loto rusesc”, iar variabila aleatoare $Y$ exprimă câștigurile în numerar din biletele unei alte loterie „Cheia de Aur”. Este evident că variabilele aleatoare $X,\Y$ vor fi independente, deoarece câștigurile din biletele unei loterie nu depind de legea repartizării câștigurilor din biletele unei alte loterie. În cazul în care variabilele aleatoare $X,\Y$ ar exprima câștigurile aceleiași loterie, atunci, evident, aceste variabile aleatoare ar fi dependente.

Exemplul 2 . Doi muncitori lucrează în ateliere diferite și produc diverse produse care nu sunt legate între ele de tehnologiile de fabricație și de materiile prime utilizate. Legea distribuției pentru numărul de produse defecte fabricate de primul lucrător pe tură are următoarea formă:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
Numărul de \ defecte \ produse \ x & 0 & 1 \\
\hline
Probabilitate & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end(matrice)$

Numărul de produse defecte produse de al doilea lucrător pe tură respectă următoarea lege de distribuție.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
Numărul de \ defecte \ produse \ y & 0 & 1 \\
\hline
Probabilitate & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\end(matrice)$

Să găsim legea distribuției pentru numărul de produse defecte produse de doi lucrători pe schimb.

Fie variabila aleatoare $X$ numărul de produse defecte produse de primul muncitor pe tură și $Y$ numărul de produse defecte produse de al doilea muncitor pe tură. După condiție, variabilele aleatoare $X,\Y$ sunt independente.

Numărul de produse defecte produse de doi lucrători pe schimb este o variabilă aleatorie $X+Y$. Valorile sale posibile sunt $0,\1$ și $2$. Să găsim probabilitățile cu care variabila aleatoare $X+Y$ își ia valorile.

$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\dreapta) =0,8\cdot 0,7=0,56.$

$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ sau\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\dreapta) )P\stanga(Y=1\dreapta)+P\stanga(X=1\dreapta)P\stanga(Y=0\dreapta)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7 =0,38.$

$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\ Y=1\right)=P\left(X=1\dreapta)P\left(Y=1\dreapta) =0,2\cdot 0,3=0,06.$

Apoi legea distribuției numărului de produse defecte fabricate de doi lucrători pe tură:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
Număr de \ defecte \ produse & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Probabilitate & 0,56 & 0,38 & 0,06\\
\hline
\end(matrice)$

În exemplul anterior, am efectuat o operație pe variabile aleatoare $X,\Y$ și anume, am găsit suma lor $X+Y$. Să dăm acum o definiție mai riguroasă a operațiilor (adunare, diferență, înmulțire) asupra variabilelor aleatoare și să dăm exemple de soluții.

Definiția 1. Produsul $kX$ al unei variabile aleatoare $X$ de o variabilă constantă $k$ este o variabilă aleatorie care ia valori $kx_i$ cu aceleași probabilități $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \dots ,\ n\ dreapta)$.

Definiția 2. Suma (diferența sau produsul) variabilelor aleatoare $X$ și $Y$ este o variabilă aleatoare care ia toate valorile posibile de forma $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ sau $x_i\cdot y_i$) , unde $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, cu probabilitățile $p_(ij)$ ca variabila aleatoare $X$ să ia valoarea $x_i$, iar $Y$ valoarea $y_j$:

$$p_(ij)=P\stânga[\left(X=x_i\dreapta)\left(Y=y_j\dreapta)\dreapta].$$

Deoarece variabilele aleatoare $X,\Y$ sunt independente, atunci conform teoremei înmulțirii probabilității pentru evenimente independente: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ dreapta)= p_i\cdot p_j$.

Exemplul 3 . Variabilele aleatoare independente $X,\ Y$ sunt specificate de legile lor de distribuție a probabilității.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(matrice)$

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(matrice)$

Să formulăm legea distribuției variabilei aleatoare $Z=2X+Y$. Suma variabilelor aleatoare $X$ și $Y$, adică $X+Y$, este o variabilă aleatoare care ia toate valorile posibile de forma $x_i+y_j$, unde $i=1,\ 2 ,\dots ,\ n$ , cu probabilități $p_(ij)$ ca variabila aleatoare $X$ să ia valoarea $x_i$, iar $Y$ valoarea $y_j$: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. Deoarece variabilele aleatoare $X,\Y$ sunt independente, atunci conform teoremei înmulțirii probabilității pentru evenimente independente: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ dreapta)= p_i\cdot p_j$.

Deci, are legi de distribuție pentru variabilele aleatoare $2X$ și, respectiv, $Y$.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(matrice)$

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(matrice)$

Pentru comoditatea găsirii tuturor valorilor sumei $Z=2X+Y$ și probabilitățile acestora, vom compune un tabel auxiliar, în fiecare celulă din care vom plasa în colțul din stânga valorile sumei $ Z=2X+Y$, iar în colțul din dreapta - probabilitățile acestor valori obținute ca urmare a înmulțirii probabilităților valorilor corespunzătoare ale variabilelor aleatoare $2X$ și $Y$.

Ca rezultat, obținem distribuția $Z=2X+Y$:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\end(matrice)$

EVENIMENTE ALEATORII INDEPENDENTE - astfel de evenimente aleatoare OŞi ÎN, pentru care probabilitatea P apariția simultană a 2 evenimente A la B este egal cu produsul probabilităților de apariție a fiecăruia dintre ele separat: P(AB) = P(A) P(B).În mod similar, definiția independenței n evenimente aleatorii. Această definiție se extinde la independență variabile aleatoareși anume, variabile aleatoare X 1, X 2, ..., X p independent dacă pentru orice grup X i1, X i2, ..., Xik, dintre aceste mărimi este adevărată următoarea egalitate: P(X i1 ≤ x i1, X i2 ≤ x i2, ..., X ik ≤ x ik) = P(X i1 ≤ x i2)P(X i2 ≤x i2)...(P(X ik ≤ x ik); 1≤ k ≤ n. La rezolvarea geol. probleme folosind metodele teoriei probabilităților și statistici matematice dependența corectă a cantităților studiate este adesea partea cea mai complexă și responsabilă a studiului.

Dicţionar geologic: în 2 volume. - M.: Nedra. Editat de K. N. Paffengoltz et al.. 1978 .

Vedeți ce sunt „EVENIMENTE INDEPENDENTE ALEATORII” în alte dicționare:

Consultați Evenimente aleatoare independente. Dicţionar geologic: în 2 volume. M.: Nedra. Editat de K. N. Paffengoltz et al. 1978... Enciclopedie geologică

Acest termen are alte semnificații, vezi Independență (sensuri). În teoria probabilității, două evenimente aleatoare sunt numite independente dacă apariția unuia dintre ele nu modifică probabilitatea de apariție a celuilalt. La fel, două... Wikipedia

Coeficientul de corelare- (Coeficientul de corelație) Coeficientul de corelație este un indicator statistic al dependenței a două variabile aleatoare Definirea coeficientului de corelație, tipuri de coeficienți de corelație, proprietăți ale coeficientului de corelație, calcul și aplicare... ... Enciclopedia investitorilor

O știință matematică care permite, din probabilitățile unor evenimente aleatoare, să se afle probabilitățile altor evenimente aleatoare asociate cu k.l. la fel cu primele. Afirmația că k.l. evenimentul are loc cu o probabilitate egală cu, de exemplu, 1/2, nu încă... ... Enciclopedie matematică

În teoria probabilității, unul dintre cele mai importante concepte ale acestei teorii. Uneori sunt folosiți termenii de independență statistică și independență stocastică. Asumarea N. evenimentelor, testelor și variabilelor aleatoare luate în considerare a fost o condiție prealabilă comună... Enciclopedie matematică

O știință matematică care permite, din probabilitățile unor evenimente aleatorii, să se găsească probabilitățile altor evenimente aleatoare legate într-un fel de primul. O afirmație că un eveniment are loc cu probabilitate... ... Marea Enciclopedie Sovietică

GOST R 50779.10-2000: Metode statistice. Probabilitate și statistică de bază. Termeni și definiții- Terminologie GOST R 50779.10 2000: Metode statistice. Probabilitate și statistică de bază. Termeni și definiții document original: 2.3. populație (generală) Ansamblul tuturor unităților luate în considerare. Notă Pentru o variabilă aleatoare... ... Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice

Angajat în studiul evenimentelor a căror apariție nu este cunoscută cu certitudine. Ne permite să judecăm caracterul rezonabil de a aștepta apariția unor evenimente în comparație cu altele, deși atribuirea de valori numerice probabilităților evenimentelor este adesea inutilă... ... Enciclopedia lui Collier

O ramură a matematicii în care matematica este construită și studiată. modele ale fenomenelor aleatorii. Aleatorietatea este inerentă într-o măsură sau alta în marea majoritate a proceselor care au loc în natură. Ea este de obicei prezentă acolo unde sunt creaturile. influenta asupra procesului...... Enciclopedie fizică

În statistica matematică, o metodă statistică concepută pentru a identifica influența factorilor individuali asupra rezultatului unui experiment, precum și pentru planificarea ulterioară a experimentelor similare. Initial D. a. a fost propus de R. Fischer... ... Enciclopedie matematică